Probabilidade condicional e teorema de Bayes

Probabilidade condicional e teorema de Bayes

A probabilidade condicional P(A | B) é a chance de A quando já se sabe que B aconteceu: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).

Em um teste diagnóstico há três números:

• prevalência P(D): fração de doentes na população;
• sensibilidade P(+ | D): chance de o teste dar positivo quando a pessoa está doente;
• especificidade P(− | ¬D): chance de dar negativo quando a pessoa está sã.

A pergunta prática é outra: dado um resultado positivo, qual a chance de estar doente? Isso é P(D | +), o valor preditivo positivo. O teorema de Bayes relaciona as duas condicionais:

P(D | +) = P(+ | D) · P(D) / P(+), em que P(+) = P(+ | D)·P(D) + P(+ | ¬D)·P(¬D).

O falso positivo clássico

Com prevalência de 1%, sensibilidade de 90% e especificidade de 91%, em 10 000 pessoas há 100 doentes (90 positivos) e 9 900 sãos (cerca de 891 positivos falsos). Dos cerca de 981 positivos, apenas 90 são de doentes: P(D | +) ≈ 9%, mesmo com um teste razoável. A doença é rara, então os falsos positivos do grande grupo sadio superam os verdadeiros do pequeno grupo doente.

Os diagramas

• Árvore: cada ramo é uma escolha, e a probabilidade de um caminho é o produto dos ramos. Os caminhos que terminam em "+" somam P(+).
• Áreas: um quadrado de área 1. A largura da coluna da esquerda é a prevalência; a área de cada retângulo é a probabilidade conjunta. Os retângulos destacados são os positivos. P(D | +) é a parte destacada que é doente, dividida pelo destaque inteiro.

Limites

Os valores precisam estar entre 0 e 1. Com prevalência 0, ninguém está doente: todo positivo é falso e P(D | +) = 0. Se, além disso, a especificidade é 100%, o teste nunca dá positivo; então P(+) = 0 e a condicional não é definida. A ferramenta mostra isso como indefinida, em vez de um número falso.