Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa (c). Os outros dois são os catetos (a e b). O teorema diz que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos:

a² + b² = c², ou seja, c = √(a² + b²).

Na figura, o triângulo tem o ângulo reto em A, na origem. Os quadrados sobre os lados aparecem com as áreas a², b² e c². Arraste os vértices B e C, ou digite os catetos, e observe que a conta fecha em qualquer caso.

Por que vale?

A prova por rearranjo não usa fórmulas. Construa um quadrado de lado a + b e coloque dentro dele quatro cópias do triângulo, cada uma num canto. Sobra um quadrado no centro, de lado c. Agora reorganize as mesmas quatro cópias de outro jeito: elas ocupam o quadrado todo, deixando dois quadrados vazios, de lados a e b.

Como os triângulos não mudaram de forma nem de área, o que sobra no centro tem a mesma área nos dois casos: c² = a² + b². A animação da aula faz exatamente essa troca. Cada triângulo gira e se desloca de forma rígida, sem se deformar.

A demonstração mais conhecida em texto está no Livro I dos Elementos de Euclides (proposição 47), que compara áreas de triângulos e paralelogramos.

Ternas pitagóricas

Uma terna pitagórica é um trio (a, b, c) de inteiros positivos com a² + b² = c². A 3–4–5 é a mais famosa: 9 + 16 = 25. Ela é primitiva, porque os três números não têm divisor comum maior que 1. Multiplicar uma terna por um inteiro gera outra (6–8–10 vem de 3–4–5) e não é primitiva.

Euclides mostrou que todas as ternas primitivas saem de dois inteiros m > n > 0, de paridades diferentes e primos entre si:

• a = m² − n²
• b = 2mn
• c = m² + n²

Por exemplo, m = 2 e n = 1 dão 3–4–5; m = 3 e n = 2 dão 5–12–13. Como existem infinitos pares (m, n), existem infinitas ternas primitivas. A lista do painel mostra as menores.

Aplicações

• Esquadro na obra: marque 3 m numa parede, 4 m na outra; se a diagonal medir 5 m, o canto é reto. Carpinteiros e pedreiros usam esse método há séculos.
• Distância no plano: a distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Mapas, jogos e GPS fazem essa conta o tempo todo.
• Diagonal de telas: a medida de uma tela de 16:9 em polegadas é uma hipotenusa: a diagonal de 1920 × 1080 pixels é √(1920² + 1080²) ≈ 2202,9 pixels.

Curiosidades

• Uma tábua de argila babilônia, a Plimpton 322, registra listas de ternas pitagóricas por volta de 1800 a.C., séculos antes de Pitágoras. Isso sugere que a relação era conhecida antes de qualquer demonstração escrita.
• Não se sabe com certeza quem deu a primeira prova geral. Atribui-se a Pitágoras, por volta do século VI a.C., mas não há texto da época que confirme.
• Quantas ternas existem? Infinitas. Já a versão com potência 3 em vez de 2 (a³ + b³ = c³) não tem solução com inteiros positivos. Esse caso foi demonstrado por Euler no século XVIII, e a versão geral do Último Teorema de Fermat só foi provada em 1995, por Andrew Wiles.

Calculadora

No painel, escolha o que procurar: com dois catetos você obtém a hipotenusa; com um cateto e a hipotenusa você obtém o outro cateto. A calculadora só responde quando a hipotenusa é maior que o cateto conhecido, porque caso contrário não existe triângulo.