Geometria analítica: retas e circunferências

Geometria analítica: retas e circunferências

A geometria analítica traduz figuras em equações. Assim, uma pergunta geométrica, como "a reta toca o círculo?", vira uma conta com números. Nesta aula você arrasta dois pontos que definem uma reta, um ponto Q e os centros e raios de duas circunferências, e vê todas as equações e medidas mudarem ao mesmo tempo.

O que observar

• A equação geral da reta é ax + by + c = 0. A forma reduzida, y = mx + n, mostra a inclinação m e o intercepto n. Retas verticais não têm forma reduzida e aparecem como x = k.
• A distância de Q à reta é o comprimento do segmento perpendicular, que liga Q ao pé H.
• Cada círculo tem a equação reduzida (x − h)² + (y − k)² = r² e a forma expandida x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
• A posição relativa de reta e círculo é externa, tangente ou secante, conforme a distância do centro à reta seja maior, igual ou menor que o raio.
• Dois círculos podem ser concêntricos, disjuntos, tangentes (por fora ou por dentro), secantes ou um dentro do outro. Os casos dependem da distância entre os centros d em relação à soma e à diferença dos raios.

Fórmulas

• Reta por P1 = (x1; y1) e P2 = (x2; y2): a = y2 − y1, b = x1 − x2, c = −(a·x1 + b·y1).
• Distância de Q = (x0; y0) à reta: d = |a·x0 + b·y0 + c| / √(a² + b²).
• Pé da perpendicular: H = Q − ((a·x0 + b·y0 + c) / (a² + b²)) · (a; b).
• Círculo de centro (h; k) e raio r: D = −2h, E = −2k, F = h² + k² − r².
• Reta × círculo: se d > r não há ponto; se d = r há um ponto; se d < r há dois, obtidos a partir de H ± √(r² − d²) · u, em que u é um vetor unitário sobre a reta.
• Círculo × círculo: com d a distância entre os centros, vale d > R1 + R2 (exteriores), d = R1 + R2 (tangentes exteriores), |R1 − R2| < d < R1 + R2 (secantes) e assim por diante.

Por que é verdade

A equação geral sai de exigir que o ponto (x; y) esteja alinhado com P1 e P2: o determinante da matriz com as linhas (x, y, 1), (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) é zero, e desenvolver esse determinante dá a forma ax + by + c = 0. O vetor (a; b) é normal à reta, e isso explica a fórmula da distância: ela é a projeção de Q − P1 sobre a normal unitária.

Para a distância mínima, o pé da perpendicular é o ponto da reta mais próximo de Q, porque o segmento QH é ortogonal à reta, e o teorema de Pitágoras garante que qualquer outro ponto está mais longe.

Para a interseção reta × círculo, substitua a parametrização da reta na equação do círculo: obtém-se uma equação do segundo grau em t, e o discriminante é positivo, zero ou negativo conforme a reta corte, tangencie ou não toque o círculo. O mesmo discriminante, escrito em termos de d e r, dá o critério geométrico.

Aplicações

• Computação gráfica: testar se uma linha atravessa um círculo (colisão em jogos) usa exatamente a distância ponto-reta.
• Física: a distância de um ponto a uma reta de ação de uma força dá o braço do torque.
• Engenharia: encontrar a tangente comum a duas peças circulares, como polias ou engrenagens, usa o mesmo cálculo.
• Astronomia: órbitas circulares e trajetórias retilíneas se cruzam, e o cálculo de interseção decide se há colisão.

Curiosidade

René Descartes publicou a ideia central da geometria analítica em La Géométrie (1637), em um apêndice ao Discurso do Método. Pierre de Fermat trabalhou em ideias semelhantes por volta da mesma época; as datas e a forma como cada trabalho chegou aos leitores são discutidas pelos historiadores. A ideia de que uma curva é o conjunto de soluções de uma equação mudou a geometria: problemas que os gregos resolviam com régua e compasso passaram a ser problemas de álgebra.