Distribuição normal e Teorema Central do Limite

Distribuição normal e Teorema Central do Limite

A normal (gaussiana) tem a forma de sino, simétrica em torno da média μ. O espalhamento é dado pelo desvio padrão σ. A área total sob a curva é 1, então a área entre dois valores é uma probabilidade.

Áreas e z-score

Para calcular P(a ≤ X ≤ b), padroniza-se cada limite: z = (x − μ)/σ. Depois usa-se a função de distribuição Φ(z), que dá a área à esquerda de z. Então P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a). O z-score diz quantos desvios-padrão um valor está da média; Φ(z) é o percentil correspondente.

Regra 68–95–99,7

Em qualquer normal, cerca de 68% dos valores estão a ±1σ da média, 95% a ±2σ e 99,7% a ±3σ. A ferramenta calcula essas áreas exatamente, para qualquer μ e σ, e mostra que a regra não depende da escala.

Teorema Central do Limite

Somas de muitas variáveis independentes tendem a uma normal, mesmo quando cada variável não é normal. A simulação soma n números uniformes em [0, 1). Com n = 1 o histograma é retangular. Com n = 2 já aparece um triângulo, e com n = 12 a forma é quase um sino. A média é n/2 e a variância n/12. A semente deixa o experimento reproduzível.

Limites

Desvio padrão zero não é uma normal: a ferramenta recusa. As áreas são calculadas com precisão de ponto flutuante, inclusive nas caudas (onde 1 − Φ(z) é muito pequeno).