Distribuição binomial e tábua de Galton

Distribuição binomial e tábua de Galton

A binomial conta sucessos em n provas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso. Se X é o número de sucessos, então P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

• Média: n·p. Variância: n·p·(1 − p).
• P(X ≤ k) é a soma das probabilidades até k.

O gráfico mostra todas as barras P(X = k). Com p = 0,5 ele é simétrico em torno de n/2; com p pequeno, concentra-se à esquerda.

Aproximação normal

Para n grande e p não muito perto de 0 ou 1, a binomial parece uma normal com média np e desvio √(np(1 − p)). A correção de continuidade soma 0,5 ao limite inteiro antes de converter em z: P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − np)/√(np(1 − p))). A ferramenta mostra o valor exato e a aproximação, para você ver a diferença.

Tábua de Galton

Uma bola cai por linhas de pinos. Em cada pino ela vai para a direita com probabilidade p e para a esquerda com 1 − p. Depois de n linhas, a caixa final da bola segue exatamente a binomial B(n, p). As bolas são simuladas com uma semente: a mesma semente sempre gera o mesmo resultado, e o link desta página reabre o mesmo experimento.

A animação mostra cada bola descendo; o histograma ao lado conta as bolas que já caíram. Com poucas bolas o formato ainda é irregular; com muitas, ele se aproxima da binomial.

Limites

Até 2000 provas para o cálculo exato; a tábua de Galton desenha até 16 linhas. Os extremos p = 0 e p = 1 são tratados como casos degenerados: a distribuição vira uma barra só.