Círculo: raio, diâmetro, comprimento, área, arco, setor e corda

Círculo: raio, diâmetro, comprimento, área, arco, setor e corda

Um círculo é o conjunto dos pontos que estão a uma mesma distância, chamada raio r, de um ponto fixo, o centro. O contorno é a circunferência; a região interna é o disco, que costumamos chamar de círculo.

As medidas básicas

• Diâmetro: d = 2r. É a maior corda possível, a que passa pelo centro.
• Comprimento da circunferência: C = 2πr = πd.
• Área: A = πr².

As quatro medidas estão ligadas. Se você conhece uma delas, as outras saem: do comprimento, r = C / (2π); da área, r = √(A / π). Por isso a calculadora deixa você digitar qualquer uma.

π

O número π é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro. Ele vale 3,14159... e não é uma fração exata. Por isso as calculadoras mostram sempre valores aproximados.

Arco e setor

Um ângulo central θ tem o vértice no centro. O arco que ele determina tem comprimento proporcional ao ângulo:

comprimento do arco = r θ, com θ em radianos, ou (θ / 360°) · 2πr

O setor circular é a fatia do disco limitada pelo arco e pelos dois raios. Sua área é uma fração da área total:

área do setor = (θ / 360°) · πr²

Um quarto de círculo (90°) tem um quarto da área; meio círculo (180°) tem metade.

Corda e segmento circular

A corda é o segmento que liga dois pontos da circunferência. Para o ângulo central θ, a corda mede

corda = 2 r sen(θ / 2)

O segmento circular é a região entre a corda e o arco. Ele é o setor menos o triângulo formado pelo centro e pelos extremos da corda. Com φ = θ em radianos:

área do segmento = (r² / 2) (φ - sen φ)

Quando θ = 60°, o triângulo é equilátero e a corda mede exatamente r.

Por que a área cresce com o quadrado do raio

Dobre o raio e o círculo fica quatro vezes maior em área, porque πr² vira π(2r)² = 4πr². Essa é a razão de uma pizza de 40 cm render o dobro de uma de 28 cm em área, e não apenas o dobro em tamanho.

Aplicações

• Engenharia: dimensionar tubos e polias usando o comprimento da circunferência.
• Astronomia: a órbita circular aproximada usa o raio para medir distâncias.
• Design: setores circulares são a base dos gráficos de pizza.

Curiosidade

Arquimedes estimou π entre 3 + 10/71 e 3 + 1/7 usando polígonos inscritos e circunscritos com 96 lados. Hoje, o cálculo de π passa de trilhões de casas decimais.