Arraste os pontos sobre o círculo e veja o ângulo central e o inscrito que enxergam o mesmo arco, o arco capaz, a reta tangente perpendicular ao raio e as tangentes de um ponto externo.
Uma circunferência tem várias relações angulares que valem sempre, qualquer que seja o raio. Elas são úteis para resolver problemas de geometria e aparecem em engenharia e navegação.
O ângulo central tem o vértice no centro O. Um ângulo inscrito tem o vértice sobre a circunferência e seus lados passam por dois pontos dela. Se os dois enxergam o mesmo arco AB:
ângulo inscrito = ½ · ângulo central
O arco que o ângulo inscrito "enxerga" é o arco que não contém o vértice dele. Essa é a regra que a calculadora segue quando você move C para o outro lado da corda AB.
Se AB é um diâmetro, o arco AB que não contém C mede 180°. Logo, o ângulo inscrito ACB vale 90°. Esse é o famoso teorema de Tales: todo triângulo inscrito com um lado sendo diâmetro é retângulo.
Fixada uma corda AB, todos os pontos de um mesmo arco de circunferência veem a corda sob o mesmo ângulo. Esse arco é chamado de arco capaz do ângulo. Se o ponto estiver no arco oposto, o ângulo é o suplementar: os dois valores somam 180°. Isso acontece porque os dois arcos juntos formam a circunferência inteira, e o ângulo inscrito em cada um é metade do arco que ele enxerga.
A reta tangente toca a circunferência em um só ponto P. Ela é sempre perpendicular ao raio OP. Se não fosse, a reta se inclinaria e cortaria o círculo em outro ponto. Por isso, a reta tangente em P tem equação x cos φ + y sen φ = R, onde φ é o ângulo polar de P.
De um ponto T fora do círculo saem exatamente duas tangentes. Elas têm o mesmo comprimento, porque os triângulos OPT são congruentes (dois lados iguais ao raio e à mesma hipotenusa OT). O comprimento vale
comprimento = √(|OT|² - R²)
O ângulo entre as tangentes é 2 arcsen(R / |OT|), e o ângulo central P₁OP₂ vale 2 arccos(R / |OT|). Note que o ângulo entre as tangentes e o ângulo central somam 180°.
O nome "arco capaz" vem do latim arcus capax, o arco que "contém" o ângulo. A origem exata da expressão e sua data de uso são duvidosas, então não a tome como fato histórico preciso.
Faça um triângulo ABC inscrito com AB sendo um diâmetro. Qual é o ângulo em C e por quê?
Use o caso 'Inscrito num diâmetro (90°)' e observe o inscrito ACB.
No modo 'Arco capaz', por que os ângulos ACB e APB são iguais quando C e P estão no mesmo arco?
Mova C e P para o mesmo lado da corda AB e compare os dois valores; depois mude um deles para o outro arco.
Com R = 1 e T = (2; 0), qual é o comprimento de cada tangente? Confira com T = (3; 4) e R = 2.
Use o Teorema de Pitágoras no triângulo OPT: comprimento = √(d² - R²), com d = |OT|.
Por que a tangente em um ponto é sempre perpendicular ao raio que passa por ele?
Pense no que aconteceria se a tangente não fosse perpendicular: ela cortaria o círculo em dois pontos.
Trilha de estudo: Geometria · Mapa de conceitos