Arraste o triângulo e um ponto P: veja os pés das perpendiculares ficarem alinhados (reta de Simson) quando P está no círculo, a área de Euler, o triângulo de Morley equilátero e o triângulo de Napoleão.
Esta aula reúne três resultados clássicos sobre um mesmo triângulo ABC. Cada um parece um truque, mas todos são consequências de contas simples de distância e ângulo.
Dado um ponto P, trace as perpendiculares de P aos três lados (ou às retas dos lados). Os três pés, D sobre BC, E sobre CA e F sobre AB, formam o triângulo dos pés ou triângulo pedal de P.
Teorema: os pés estão alinhados se e somente se P está sobre o circuncírculo do triângulo. A reta que passa pelos três pés é a reta de Simson de P.
No painel, a área do triângulo dos pés aparece ao lado da previsão de Euler. Com o botão Prender P ao círculo circunscrito ligado, P fica sobre o círculo, e a área é zero: os pés estão alinhados. Desligue a opção ou use P fora do círculo e a área cresce.
Área(DEF) = |R² − OP²| / (4R²) · Área(ABC)
Onde O é o circuncentro e R é o circunraio. Essa fórmula dá a condição de Simson de uma vez: a área é zero exatamente quando OP = R.
Trisseccione os três ângulos do triângulo, isto é, divida cada ângulo em três partes iguais. Para cada lado, tome as duas trissetrizes que são adjacentes a ele (uma de cada vértice do lado) e marque o ponto onde elas se cruzam. Os três pontos formam o triângulo de Morley.
Teorema de Morley: o triângulo de Morley é sempre equilátero, qualquer que seja o triângulo ABC.
No painel, os três lados do triângulo de Morley aparecem iguais, e a linha Morley é equilátero? confirma isso. Clique nas predefinições para ver o resultado em cada tipo de triângulo.
Sobre cada lado do triângulo ABC, construa um triângulo equilátero. Se a construção é feita para fora de ABC, temos o caso externo; para dentro, o interno. Os centros dos três equiláteros formam o triângulo de Napoleão.
Teorema de Napoleão: o triângulo de Napoleão é sempre equilátero, nos dois casos.
Na aula, ligue o triângulo de Napoleão e compare os lados externo e interno. A atribuição do teorema a Napoleão Bonaparte é lendária; não há registro que a confirme.
A fórmula de Euler para a área do triângulo dos pés pode ser verificada com coordenadas: a área é uma função de P que se anula exatamente sobre o circuncírculo, e a expressão |R² − OP²| / (4R²) · Área(ABC) reproduz esse comportamento. O programa confere essa igualdade para cada posição de P; a demonstração completa usa trigonometria dos triângulos formados por P e pelos vértices e não é reproduzida aqui.
O teorema de Morley tem prova clássica longa, baseada em trigonometria com ângulos da forma 60° ± θ, em que θ é um terço do ângulo do vértice. Aqui ele é apenas verificado numericamente em todas as predefinições.
Para Napoleão, a demonstração clássica usa rotações de 60°: girar um vértice em torno do centro de um equilátero leva um lado ao outro, o que produz triângulos congruentes e mostra que os lados do triângulo de centros são iguais.
A reta de Simson leva o nome de Robert Simson, matemático escocês do século XVIII, mas o resultado foi publicado pela primeira vez por William Wallace em 1799. O teorema de Morley foi descoberto por Frank Morley em 1899, e ficou conhecido por ser tão surpreendente que muitos matemáticos o demonstraram de formas diferentes ao longo do século XX.
Com P sobre o círculo circunscrito, confirme que os três pés estão alinhados. Mova P para fora do círculo: a área dos pés aumenta ou diminui? Por quê?
A área de Euler é |R² − OP²| / (4R²) · área(ABC). Ela é zero só sobre o círculo, e cresce com a distância de P ao círculo.
Compare o triângulo de Morley com o triângulo ABC para vários tipos de triângulo. Ele é sempre equilátero?
Clique em cada predefinição e confira a linha 'Morley é equilátero?' no painel de leitura.
Mude entre Napoleão externo e interno. O centro do triângulo formado pelos três centros muda de tamanho? Ele continua equilátero?
Compare os lados do triângulo de Napoleão nos dois casos, lendo o painel.
Por que a reta de Simson tem o ponto P sobre o círculo como condição necessária e suficiente?
Pela fórmula de Euler, a área dos pés é zero exatamente quando R² = OP², ou seja, quando P está no círculo.
Nenhuma aula usa esta como pré-requisito ainda.
Cada conceito leva à lista de aulas que o usam, por disciplina.
Trilha de estudo: Geometria · Mapa de conceitos