Média, mediana e moda

Média, mediana e moda

Quando alguém diz "o salário médio é de tanto", que número está por trás dessa frase? Existem três medidas centrais comuns, e cada uma conta uma história diferente sobre os mesmos dados.

Média

A média é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Para as notas 6, 7, 8 e 9, a média é 30 / 4 = 7,5. Ela usa todas as informações, mas é sensível a valores extremos.

Em símbolos, para os valores x₁, …, xₙ, a média é x̄ = (x₁ + … + xₙ) / n. A propriedade que a torna útil em física e em estatística é que a soma dos desvios em relação a ela é zero.

Mediana

A mediana é o valor do meio, depois de ordenar os dados. Se há um número par de valores, é a média dos dois centrais. Ela não muda muito com um valor exagerado, por isso é a escolha usual para renda e preços de imóveis.

Quartis dividem os dados em quatro partes. Q2 é a mediana; Q1 e Q3 são as medianas das metades de baixo e de cima. A aula usa o método das metades inclusivas: se n é ímpar, a mediana entra nas duas metades. A diferença Q3 − Q1 (IQR) mede a dispersão da parte central.

Moda

A moda é o valor que aparece mais vezes. Pode haver várias modas, ou nenhuma, se todos os valores forem diferentes. É a única medida que faz sentido para dados categóricos, como a cor preferida.

Dispersão

Média e mediana dizem onde os dados estão, mas não quão espalhados estão. A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média, e o desvio padrão é a raiz dela. Na aula, a variância é a populacional (dividida por n); a amostral divide por n − 1.

Boxplot

O diagrama de caixa mostra Q1, a mediana e Q3 numa caixa, e os bigodes até o último valor dentro de 1,5 × IQR além da caixa. Valores fora desses limites são marcados como atípicos. É uma forma honesta de comparar distribuições, porque não depende de a média ser representativa.

Exemplo que engana

Em um pequeno time com cinco salários de 2 mil e um de 50 mil, a média sobe para 10 mil, mas a mediana continua em 2 mil. Quem vende a média como "o salário típico" está usando a medida mais favorável, não a mais representativa. Use a aula: marque o valor extra e veja a média se mover enquanto a mediana quase não se move.

Aplicações

• Economia: renda e preços de imóveis são resumidos pela mediana, porque poucos valores muito altos distorcem a média.
• Saúde: a média de um exame costuma ser usada para comparar grupos, e a mediana para tempos de espera.
• Esportes: a moda indica o resultado mais comum; a média, o desempenho típico de um time.

Curiosidade

Galton, em 1907, observou que a mediana dos palpites de uma multidão sobre o peso de um boi ficou perto do valor real. O caso é conhecido como a sabedoria da multidão: a mediana é robusta justamente porque ignora os palpites mais extremos.

Perguntas de revisão

1. Qual medida é menos afetada por um valor muito grande?

Resposta: a mediana. A média é sensível a valores extremos.

1. Qual medida funciona para dados categóricos, como cores?

Resposta: a moda, a única das três que não depende de operações numéricas.