Cônicas: elipse, parábola e hipérbole

Cônicas: elipse, parábola e hipérbole

As cônicas são as curvas obtidas ao cortar um cone circular por um plano. Pela interseção com planos diferentes, surgem a elipse (corte oblíquo que atravessa todas as geratrizes), a parábola (plano paralelo a uma geratriz) e a hipérbole (corte que atravessa as duas metades do cone). Mas a forma mais útil para cálculo é a definição por focos e diretriz, que esta aula usa.

Para uma cônica, existe um foco F, uma diretriz d e uma constante e (a excentricidade) tais que, para todo ponto P da curva, a razão entre a distância PF e a distância de P à diretriz é igual a e. Com e = 1 temos a parábola; com 0 < e < 1, a elipse; e com e > 1, a hipérbole.

Nesta aula você escolhe o tipo, o tamanho, a rotação e o centro, e arrasta um ponto P que fica sempre sobre a curva. O painel mostra os focos, a excentricidade, a diretriz, a propriedade focal de P e a equação geral.

O que observar

• Elipse: PF1 + PF2 é constante e igual a 2a em todo o traço. Quando a = b, os dois focos coincidem no centro e a elipse vira circunferência.
• Hipérbole: |PF1 − PF2| é constante e igual a 2a, nos dois ramos. A excentricidade é maior que 1.
• Parábola: PF é igual à distância de P à diretriz, e a excentricidade é 1.
• A equação geral Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 vale para qualquer rotação. O sinal de B² − 4AC diz o tipo: negativo para elipse, zero para parábola e positivo para hipérbole.
• O ângulo do eixo focal sai dos coeficientes: θ = ½ · atan2(B, A − C). Ele recupera a rotação que você escolheu.

Fórmulas (forma padrão, sem rotação)

• Elipse: x²/a² + y²/b² = 1, com a ≥ b. Focos em (±c; 0), com c² = a² − b². Excentricidade e = c/a. Diretrizes x = ±a²/c.
• Hipérbole: x²/a² − y²/b² = 1. Focos em (±c; 0), com c² = a² + b². Excentricidade e = c/a > 1. Diretrizes x = ±a²/c.
• Parábola: y² = 4px. Foco em (p; 0) e diretriz x = −p.

Com centro (h; k) e rotação θ, as coordenadas globais são obtidas por (x; y) = (h; k) + x'·(cos θ; sen θ) + y'·(−sen θ; cos θ). Substituindo x' e y' na forma padrão e expandindo, chega-se à equação geral.

Por que é verdade

Para a elipse, tome um ponto P e as distâncias aos focos. A soma PF1 + PF2 não depende de P: é o comprimento do eixo maior, 2a. Isso sai da definição com o círculo de raio 2a centrado em F2: a distância de P a F1 é a diferença entre 2a e a distância a F2, e a elipse é o lugar desses pontos.

Para a hipérbole, a mesma ideia com diferença em vez de soma: |PF1 − PF2| = 2a, e os dois ramos são os lugares em que a diferença vale exatamente 2a.

Para a equação geral, o ponto importante é que a rotação não muda a natureza da curva. O termo quadrático xy aparece quando o eixo está girado, e o discriminante B² − 4AC é invariante por rotação e translação, por isso classifica a cônica independentemente de como ela está posicionada.

Aplicações

• Astronomia: planetas e cometas descrevem elipses, com o Sol em um dos focos (primeira lei de Kepler, 1609).
• Ótica e acústica: um espelho elíptico leva a luz de um foco ao outro; um espelho parabólico transforma raios paralelos em um feixe que passa pelo foco, por isso antenas e faróis usam parábolas.
• Arquitetura: as abóbadas de sussurro e alguns salões são elípticos, de modo que um som em um foco é ouvido com clareza no outro.
• Trajetórias: um projétil sob gravidade descreve um arco parabólico, aproximadamente, quando a resistência do ar é desprezível.

Curiosidade

Apolônio de Perga estudou as cônicas por volta do ano 200 a.C. e deu a elas os nomes que usamos: elipse (uma falta, ou um "deixar faltar"), parábola (uma "aplicação") e hipérbole (um "excesso"). Essas palavras descrevem a relação entre a área de um retângulo construído sobre a corda e a área de um retângulo de referência. Os focos e a diretriz só foram formalizados séculos depois. Até onde a propriedade focal aparecia no trabalho de Apolônio é questão de interpretação dos textos; a aula a trata como resultado moderno, verificável com coordenadas.