Os cinco sólidos de Platão e a relação de Euler

Os cinco sólidos de Platão e a relação de Euler

Um poliedro regular tem faces formadas por polígonos regulares iguais e o mesmo número de faces em cada vértice. Só existem cinco, os sólidos platônicos:

| Sólido | Faces | Vértices | Arestas | Símbolo {p, q} | | --- | --- | --- | --- | --- | | Tetraedro | 4 triângulos | 4 | 6 | {3, 3} | | Cubo | 6 quadrados | 8 | 12 | {4, 3} | | Octaedro | 8 triângulos | 6 | 12 | {3, 4} | | Dodecaedro | 12 pentágonos | 20 | 30 | {5, 3} | | Icosaedro | 20 triângulos | 12 | 30 | {3, 5} |

O símbolo {p, q} diz quantos lados tem cada face (p) e quantas faces se encontram em cada vértice (q).

Por que são só cinco

Em um vértice, as faces precisam formar um ângulo sólido, então a soma dos ângulos das faces ali tem de ser menor que 360°. Triângulos equiláteros têm 60°, quadrados 90° e pentágonos 108°. Com três triângulos (180°), quatro (240°) e cinco (300°) cabem, mas seis triângulos dariam 360°, que já é plano. Quadrados com três por vértice (270°) são o cubo; com quatro, 360°, não fecha. Pentágonos com três (324°) são o dodecaedro. Essa análise limita os casos a cinco.

Relação de Euler

Para todo poliedro convexo, V − A + F = 2. Confira em cada sólido da tabela: 4 − 6 + 4 = 2, 8 − 12 + 6 = 2, e assim por diante. Esse fato vale para qualquer poliedro sem "buracos", e é um dos primeiros invariantes da topologia.

Dualidade

O dual de um poliedro troca vértices por faces: cada vértice do dual fica no centro de uma face do original, e cada face do dual corresponde a um vértice do original. As arestas são preservadas. Assim:

• o dual do cubo é o octaedro, e o do octaedro é o cubo;
• o dual do dodecaedro é o icosaedro, e o do icosaedro é o dodecaedro;
• o tetraedro é dual de si mesmo.

Ative "Mostrar o dual" para ver os centros das faces ligados por arestas tracejadas.

Como a aula calcula

As faces não são digitadas. O programa testa todos os planos definidos por três vértices e mantém os que deixam o restante do sólido de um só lado: esses são as faces. Assim, as contagens V, A e F saem da própria geometria, e a relação de Euler é verificada pelo painel.